C'est la combinaison de la réaction et de la diffusion qui conduit à la formation de motifs: On s'intéressera ainsi en premier lieu à la diffusion de ces deux morphogènes, une diffusion que l'on peut séparer en deux catégories:

• la diffusion simple: celle qui vise à répandre le morphogène en fonction d'un gradient de concentration,

• la diffusion à travers les pores de la membrane: qui vise à diffuser une partie du morphogène en question à travers une membrane (vers l'éxtérieur) 

Deux parties bien distinctes que l'on peut identifier dans l'équation:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. La diffusion à travers les pores de la membrane 

 

  Elle dépend de deux constantes k et f qui , selon Turing,  correspondraient à la capacité à diffuser les morphogènes à travers les pore de la membrane cellulaire et qui seraient propres à chaque animal. C'est la combinaison de ces constantes qui va principalement déterminer la formation ou non de motifs. En effet, tous les autres termes intervennant dans l'équation sont soit des autres constantes de l'équations insignifiantes (telles que Du et Dv), soit des termes dépendant eux-mêmes de u ou de v.

 

  Pour des certaines valeurs de k et f, la couleur se diffusera beaucoup à travers la membrane. On obtiendra alors approximativement les motifs suivants:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   Au contraire, si k et f ont des valeurs telles que la couleur se diffuse peu à travers la membrane, on obtiendrait approximativement les motifs suivants:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. La diffusion simple

 

  Cette diffusion met en jeu : 

• Du et Dv qui dépendent respectivemment de l'activateur U et de l'inhibiteur V 

• Les concentrations respectives u et v de ces deux morphogènes,

• Ce que l'on appelle le "Laplacien". Ce Laplacien dans notre équation, noté ▽2, est en réalité la somme des dérivées secondes par rapport à chacune des coordonnées du point observé: 

               Donc, en prenant pour fonction u: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quel phénomène physique modélise ce Laplacien dans l'équation?

 

   L'un des aspects clés de la diffusion: celui d'un gradient de concentration. Illustrons d'abord ce phénomène, souvent intuitif, à l'aide d'une vidéo, puis voyons en quoi il se retrouve, grâce au Laplacien, dans les mathématiques. Pour simplifier la modélisation, on considérera le phénomène dans un espace linéaire.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

Comment le Laplacien modélise-t-il donc ce phénomène clé de la diffusion?

 

   Pour le savoir, nous allons le développer. (Rappel: le Laplacien est la somme des dérivées secondes de u par rapport à chacune des coordonnées). Pour ce faire, nous allons d'abord calculer pour un pas h la dérivée de la fonction "concentration" u, puis en déduire sa dérivée seconde, et enfin voir comment ce résultat mathématique nous dit la même chose que notre explication intéractive. 

 

   Commençons par calculer la dérivée simple, pour un pas h, de la fonction u, qui nous sera ensuite nécessaire au calcul de la dérivée seconde:

 

 

 

 

 

 

Pour trouver la dérivée seconde, on "mime" l'égalité ci-dessus: seulement 

                 - à gauche du signe égal, au lieu de u'(a) on cherchera u''(a), d'où

                 - au numérateur, au lieu de u(a+h/2) - u(a-h/2) on aura u'(a+h/2) - u'(a-h/2).

 

Mais laissons le calcul parler: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   Le Laplacien n'étant, on l'a vu, que la somme de deux dérivées secondes, on n'a qu'à appliquer deux fois le calcul précédent pour trouver sa valeur: une fois la dérivée seconde par rapport à x, et une fois la dérivée seconde par rapport à y.

 

   Ici, effectuons-la par rapport à x et voyons en quoi le résultat obtenu modélise le gradient de concentration que nous avons précédemment décrit dans la vidéo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Effectivement, comme le montre cette décomposition du résultat final en trois parties chacune d'une couleur différente, on retrouve en développant le Laplacien ce principe de gradient de concentration* selon lequel la moyenne de concentration autour d'un point "a" (partie bleue)dépendrait de la distance h que l'on considère (partie orange), ainsi que de la valeur de la concentration en ce point (partie violette), ce que l'on avait vu schématiquement dans la vidéo avec la très forte concentration en "a" qui s'est peu à peu diffusée vers les extrémités de l'espace h. Cette étape du développement mathématique du Laplacien est donc essentielle puisqu'on en déduit que la concentration de l'espèce chimique en chaque point du plan sur lequel on tentera d'observer la formation de motifs va influencer celle des points qui l'entourent. Les choses deviennent vraiment intéressantes lorsque l'on considère le fait que ce ne sera pas qu'un activateur qui se diffusera, mais aussi un inhibiteur, et que ces deux morphogènes réagiront ensemble... Pour connaître la suite, visiter l'onglet "Réaction"!